如何用定义证明拟凹不一定凹
刘耀文的大沙雕
钟意阿满
求高手，帮忙举出一个是严格拟凹函数但不是凹函数的例子，并加以说明，十分感谢！
（1）在上财的书上用的是水平集（level set），上优集（the superior set）和下劣集（the inferior set）的概念，其中上优集和下劣集的定义与MWG书中的上等高集和下等高集对应。而无差异曲线是效用函数上的水平集。所以我说一元函数没有等高集是不严谨的。应该说有等高集（或者叫水平集）是一个点。
（2）判断一个函数是不是拟凹或者拟凸函数要从定义去判断。有一个很简单的方法就是在凸的定义域D内，所有的X1,X2（向量），有f(Xt)不大于f（X1）和f（X2）中较大一个的为拟凸，不小于其中较小一个的为拟凹。如果是严格拟凹的话就是大于较小的那一个。
可见对于一元函数Y＝x^3来说，是严格增函数，所以即使（严格）拟凹的，也是（严格）拟凸的。
固然可以通过图形对这个凹凸性进行判断，但要分清楚是在函数图像还是在无差异曲线上，相关的判断方法可以在教材上找到。
抱起亚轩找小葵
如何证明一函数为拟凹函数
y=(x-1)^2 + (x-2)^2 。
这就是一个拟凹函数相加最后不是拟凹函数的反例。
因为在[1，2]区间内 ，前者下降，后者上升，速度的不同会导致整体图形出现一个下凹的趋势，这就违反了拟凹函数的定义。
大圣杰锅是
什么是凹函数，严格拟凹函数和拟凹函数
所谓拟凹函数，就是相对坐标横轴，图像里没有下凸现象的曲线。亦即对任意两点x、y属于定义域，f(ax+(1-a)y)>=min[f(x), f(y)]。容易证明，若函数是拟凹的，当且仅当其定义域的所有上轮廓集(upper contour set)都是凸的。对于效用函数来说，偏好是凸的，当且仅当效用函数是拟凹的。严格拟凹函数：f：D→R是严格拟凹函数，当且仅当，对于所有的x1，x2∈D，都有 f（tx1+(1-t)x2）>min{f(x1), f(x2)} ，对于所有的t∈(0,1) 。由定义易知，所有单调一元函数能被认为是此类函数。很高兴为您解答有用请采纳。
小韩在追星
什么是拟凹函数？
凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。
拟凹函数，就是相对坐标横轴，图像里没有下凸现象的曲线。亦即对任意两点x、y属于定义域，f(ax+(1-a)y)>=min[f(x), f(y)]。
严格拟凹函数是凹函数的推广，保留了许多凹函数的性质。
扩展资料
凹函数的性质：
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率。
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值，那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凹函数有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。
如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。
参考资料来源：百度百科-凹函数。
参考资料来源：百度百科-拟凹函数。
参考资料来源：百度百科-严格拟凹函数。
小韩在追星
上等值集是凸集的函数一定是拟凹函数吗？
所谓拟凹函数，就是相对坐标横轴，图像里没有下凸现象的曲线。亦即对任意两点x、y属于定义域，f(ax+(1-a)y)>=min[f(x), f(y)]。容易证明，若函数是拟凹的，当且仅当其定义域的所有上轮廓集(upper contour set)都是凸的。对于效用函数来说，偏好是凸的，当且仅当效用函数是拟凹的。
至于他的意义，其实就是讨论为什么偏好一定要假定为凸的，偏好的凸性往往被解释为偏好是边际替代率是递减的（注意：是边际替代率递减，而非边际效用递减！）。从直觉上解释这种现象，就好比一个人，买苹果和桔子，他觉得1个苹果三个桔子比一个桔子三个苹果好，那么这两种消费结构直线上的点两个苹果两个桔子，也必定比一个桔子三个苹果好。这是一个二维的情况。一维则更清楚了，三个苹果如果比一个苹果好，那么两个苹果一定也比一个苹果好。随着维数增加，这个规律也是比较合理的。
另外，优化问题中把偏好假设为是凸的，再加上局部非饱和性质，使得对于任意的预算约束下，总有最大效用消费的解。否则，谈优化是没有任何意义的。