数列要么收敛要么发散
刘耀文的大沙雕
钟意阿满
什么是收敛数列和发散数列？
简单讲，收敛数列越到后而，数的值越接近0，那样和就越接近一个常数了。不符合的就是发散数列了。
有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。
例如：f（x）=1/x 当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。
f（x）= x 当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。
在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。
数列简介：
数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。
抱起亚轩找小葵
高数中的数列收敛充要条件是什么？关于发散与收敛的问题。急求，谢谢
数列趋于稳定于某一个值即收敛，其余的情况，趋于无穷大或在一定的跨度上摆动即发散。收敛数列是求和有个确定的数值，而发散数列则求和等于无穷大没有意义。
使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。
性质1 极限唯一
性质2 有界性
性质3 保号性性质4 子数列也是收敛数列且极限为a。
大圣杰锅是
如何判断数列收敛还是发散？
1）数列收敛的基本定义
设{Xn}为一已知数列，A是一个常数。如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数 N=N(ε)，使得当 n>N 时，有 |Xn -A| < ε ，则称数列{Xn}当n趋于无穷时以A为极限，或称数列{Xn}收敛于A。
2）夹挤定理
如果有三个数列 {Pn} {Xn} {Qn}。且当n足够大以后，满足条件 Pn≤Xn≤Qn。如果 当n趋于无穷时，{Pn}和{Qn}都收敛于A，那么数列{Xn}也收敛于A。
3） 单调有界原理
任何单调（单调递增或递减）且有界的数列都收敛。
扩展资料
收敛数列的性质：
有界性
定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。
定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
保号性
如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。
相互关系
收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
参考资料百度百科——收敛数列
小韩在追星
怎么判断数列是收敛还是发散？
定理如下图：
函数极限可以分成 ，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以 的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
扩展资料：
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
1.夹逼定理：
（1）当 (这是 的去心邻域，有个符号打不出）时，有 成立。
（2） ,那么，f(x)极限存在，且等于A，不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
参考资料：百度百科---函数极限。
小韩在追星
如何判断数列收敛还是发散？
看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，即可以判断收敛还是发散。
可是有时Xn比较复杂，并不好观察,加减的时候，把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1/n，用1来代替乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小。
收敛函数一定有界，但是有界函数不一定收敛，如f(x)在x=0处f(0)=2，在其他x处f(x)=1，那么f(x)在x=0处就不是收敛的，那么f(x)就不是收敛函数，但是f(x)是有界的,因为1≤f(x)≤2。
扩展资料
基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=Sn-Sn-1。
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=An^2+Bn Sn=na1+[n(n-1)]d/2 Sn=(a1+an)n/2。
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)。
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)。