pythagorean-10

哥白尼介绍

Pythagoras 毕达哥拉斯 。

参阅下面的网页.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pythagoras.html。

c语言 寻求勾股数满足x2+y2=z2的正整数x，y和z称为一组勾股数（pythagorean

尼古拉·哥白尼 Nicolaus Copernicus 波兰名：Mikolaj Kopernik (1473～1543) 。

现代天文学创始人，日心说的创立者。

【简介】

哥白尼1473年2月19日出生于波兰维斯杜拉河畔的托伦市的一个富裕家庭。18岁时就读于波兰旧都的克莱考大学，学习医学期间对天文学产生了兴趣。1496年，23岁的哥白尼来到文艺复兴的策源地意大利，在博洛尼亚大学和帕多瓦大学攻读法律、医学和神学，博洛尼亚大学的天文学家徳·诺瓦拉（de Novara，1454-1540）对哥白尼影响极大，在他那里学到了天文观测技术以及希腊的天文学理论。后来在费拉拉大学获宗教法博士学位。哥白尼作为一名医生，由于医术高明而被人们誉名为“神医”。哥白尼成年的大部分时间是在费劳恩译格大教堂任职当一名教士。哥白尼并不是一位职业天文学家，他的成名巨著是在业余时间完成的。

在意大利期间，哥白尼就熟悉了希腊哲学家阿里斯塔克斯（前三世纪）的学说，确信地球和其他行星都围绕太阳运转这个日心说是正确的。他大约在40岁时开始在朋友中散发一份简短的手稿，初步阐述了他自己有关日心说的看法。哥白尼经过长年的观察和计算终于完成了他的伟大著作《天体运行论》。他在《天体运行论》（De revolutionibus orbium coelestium）中观测计算所得数值的精确度是惊人的。例如，他得到恒星年的时间为365天6小时9分40秒，比现在的精确值约多30秒，误差只有百万分之一；他得到的月亮到地球的平均距离是地球半径的60.30倍，和现在的60.27倍相比，误差只有万分之五。

1533年，60岁的哥白尼在罗马做了一系列的讲演，提出了他的学说的要点，并未遭到教皇的反对。但是他却害怕教会会反对，甚至在他的书完稿后，还是迟迟不敢发表。直到在他临近古稀之年才终于决定将它出版。1543年5月24日去世的那一天才收到出版商寄来的一部他写的书。

在书中他正确地论述了地球绕其轴心运转；月亮绕地球运转；地球和其他所有行星都绕太阳运转的事实。但是他也和前人一样严重低估了太阳系的规模。他认为星体运行的轨道是一系列的同心圆，这当然是错误的。他的学说里的数学运算很复杂也很不准确。但是他的书立即引起了极大的关注，驱使一些其他天文学家对行星运动作更为准确的观察，其中最著名的是丹麦伟大的天文学家泰寿·勃莱荷，开普勒就是根据泰寿积累的观察资料，最终推导出了星体运行的正确规律。

虽然阿里斯塔克斯比哥白尼提出日心学说早1700多年，但是事实上哥白尼得到了这一盛誉。阿里斯塔克斯只是凭借灵感做了一个猜想，并没有加以详细的讨论，因而他的学说在科学上毫无用处。哥白尼逐个解决了猜想中的数学问题后，就把它变成了有用的科学学说——一种可以用来做预测的学说，通过对天体观察结果的检验并与地球是宇宙中心的旧学说的比较，你就会发现它的重大意义。

显然哥白尼的学说是人类对宇宙认识的革命，它使人们的整个世界观都发生了重大变化。但是在估价哥白尼的影响时，我们还应该注意到，天文学的应用范围不如物理学、化学和生物学那样广泛。从理论上来讲，人们即使对哥白尼学说的知识和应用一窍不通，也会造出电视机、汽车和现代化学厂之类的东西。但是不应用法拉第、麦克斯韦、拉瓦锡和牛顿的学说则是不可想象的。

仅仅考虑哥白尼学说对技术的影响就会完全忽略它的真正意义。哥白尼的书对伽利略和开普勒的工作是一个不可缺少的序幕。他俩又成了牛顿的主要前辈。是这两者的发现才使牛顿有能力确定运动定律和万有引力定律。

从历史的角度来看，《天体运行论》是当代天文学的起点——当然也是现代科学的起点。

编辑本段【哥白尼的历史地位】

哥白尼的“日心说”沉重地打击了教会的宇宙观，这是唯物主义和唯心主义斗争的伟大胜利。因此使天文学从宗教神学的束缚下解放出来，自然科学从此获得了新生，这在近代科学的发展上具有划时代的意义。

哥白尼是欧洲文艺复兴时期的一位巨人。他用毕生的精力去研究天文学，为后世留下了宝贵的遗产。由于时代的局限，哥白尼只是把宇宙的中心从地球移到了太阳，并没有放弃宇宙中心论和宇宙有限论。在德国的开普勒总结出行星运动三定律、英国的牛顿发现万有引力定律以后，哥白尼的太阳中心说才更加的稳固。从后来的研究结果证明，宇宙空间是无限的，它没有边界，没有形状，因而也就没有中心。虽然哥白尼的观点并不完全正确，但是他的理论人类的宇宙观带来了巨大的变革。

恩格斯在《自然辩证法》中对哥白尼的《天体运行论》给予了高度的评价。他说：“自然科学借以宣布其独立并且好像是重演路德焚烧教谕的革命行动，便是哥白尼那本不朽著作的出版，他用这本书(虽然是胆怯地，而且可说是只在临终时)来向自然事物方面的教会权威挑战，从此自然科学便开始从神学中解放出来。”

编辑本段【宗教信仰】

写出了《天体运行》的哥白尼，他自始至终都是一个虔诚的天主教徒。他用科学的观察否定了天主教会毫无《圣经》根据却又影响深广的旧有知识。

他对宗教的虔诚达到什么程度呢？让我们从他那部杰作《天体之运行：导言》里找出他作的答复吧。他在《导言》里是这样写的：“如果真有一种科学能够使人心灵高贵，脱离时间的污秽，这种科学一定是天文学。因为人类果真见到天主管理下的宇宙所有的庄严秩序时，必然会感到一种动力促使人趋向于规范的生活，去实行各种道德，可以从万物中看出来造物主确实是真美善之源。”

在哥白尼别的著作里同样充满了天主的名字以及天主的智慧与慈爱。他一生维护着天主教的信仰，他对从天主教的革命出的新教派给予了反击。

哥白尼死于1543年，享年七十岁。死前他为自己预作墓志铭，其铭文是：“你不必赏我像赏给圣保罗的恩宠，但求你赏赐我像你给圣伯多禄的宽赦和右盗的仁慈。”

一直以反基督教著称的思想家罗素也这么评价哥白尼，说：“哥白尼是一位波兰教士，抱着真纯无暇的正统信仰……他的正统信仰很真诚，他不认为他的学说与《圣经》相抵触。”（《西方哲学史》）

编辑本段【与哥白尼相关的历史事件】

1687年，牛顿的《自然哲学的数学原理》的问世，标志着哥白尼体系的最后胜利。

1685年在大马士革已有了哥白尼学说体系的译本和详尽的说明。

意大利文艺复兴时期的唯物主义哲学家布鲁诺，由于批判《圣经》并坚决赞同哥白尼的日心说，1660年2月，在罗马鲜花广场被烧死。

17世纪30年代至1646年波兰传教士穆 尼阁(Nieolas Smoglenski,1609——1655年)来华为第一阶段 在这短短的十几年时间里,以徐光启组建和主持历局,编译系统介绍西方天文学的大型丛书《崇祯历书》为契机,哥白尼的名字在中国学者 当中迅速传播。

1634年，《论宇宙或光》脱稿,此书以哥白尼学说为基础,与教会的观点不相容,而伽利略又正遭致教会迫害,笛卡尔只得暂不发表。

1634年编成的《崇祯历书》中译用了《天体运行论》中的大量材料,但由于传教士的隐瞒、歪曲,哥白尼学说却没有被介绍过来。

1633年6月22日，宗教法庭宣布哥白尼学说为邪说，判处伽利略终身监禁，宣布（对话）为禁书，然后，逼迫伽利略进行发誓。

1633年,伽利略受到宗教裁利所审利,利处终身监禁,其著作《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》被列入《禁书目录》

1632年伽利略著书立说捍卫哥白尼体系时已年过半百。

伽利略在1632年发表了《关于托勒密和哥白尼两大世界的对话）给哥白尼体系以决定性支持，1638年发表了《关于力学与位移运动两门新科学的讨论及数学证明》批驳了统治欧洲达两千多年之久的亚里斯多德关于运动和运动原因的理论，创建了实验、物理思维和数学演绎三者巧妙结合的研究方法。

1632年，伽利略《关于托勒密和哥白尼两大体系的对话》问世。

1632年，伽利略发表《关于托勒密和哥白尼两大宇宙体系的对话》以新的观测事实再次猛烈抨击荒谬的托勒密宇宙体系。

1622年来华的汤若望在其后来写的《历法西传》中,已提到哥白尼,并说“已上哥白尼所著,后人多祖述焉。

1618～1621年，开普勒发表了《哥白尼天文学概要》简明扼要地叙述了哥白尼的理论，并以自己的发现补充、修正和发展了哥白尼的学说。

1618～1621年，开普勒写了《哥白尼天文学概要》一书，把天文学的研究概括为5个方面: 观测天象；提出对观测到的天象进行解释的假说；宇宙论的物理或哲学；推算天体过去与未来的方位； 有关的仪器制造和使用的机械学。

【历史背景】

哥白尼的科学成就，是他所处的时代的产物，又转过来推动了时代的发展。

十五、六世纪的欧洲，正是从封建社会向资本主义社会转变的关键时期，在这一二百年间，社会发生了巨大的变化。14世纪以前的欧洲，到处是四分五裂的小城邦。后来，随着城市工商业的兴起，特别是采矿和冶金业的发展，涌现了许多新兴的大城市，小城邦有了联合起来组成国家的趋势。到 15世纪末叶，在许多国家里都出现了基本上是中央集权的君主政体。当时的波兰不仅有像克拉科夫、波兹南这样的大城市，也有许多手工业兴盛的城市。1526年归并于波兰的华沙已成为一个重要的商业、政治、文化和地理的中心，在16世纪末成了波兰国家的首都。

与这种政治经济变革相适应，文化、科学上也开始有所反映。当时，欧洲是“政教合一”，罗马教廷控制了许多国家，圣经被宣布为至高无上的真理，凡是违背圣经的学说，都被斥为“异端邪说”，凡是反对神权统治的人，都被处以火刑。新兴的资产阶级为自己的生存和发展，掀起了一场反对封建制度和教会迷信思想的斗争，出现了人文主义的思潮。他们使用的战斗武器，就是未被神学染污的古希腊的哲学、科学和文艺。这就是震撼欧洲的文艺复兴运动。文艺复兴首先发生于意大利，很快就扩大到波兰及欧洲其他国家。

与此同时，商业的活跃也促进了对外贸易的发展。在“黄金”这个符咒的驱使下，许多欧洲冒险者远航非洲、印度及整个远东地区。远洋航行需要丰富的天文和地理知识，从实际中积累起来的观测资料，使人们感到当时流行的“地静天动”的宇宙学说值得怀疑，这就要求人们进一步去探索宇宙的秘密，从而推进了天文学和地理学的发展。1492年，意大利著名的航海家哥伦布发现新大陆，麦哲伦和他的同伴绕地球一周，证明地球是圆形的，使人们开始真正认识地球。

在教会严密控制下的中世纪，也发生过轰轰烈烈的宗教革命。因为天主教的很多教义不符合圣经的教诲，而加入了太多教皇的个人意志以及各类神学家的自身成果，所以很多信徒开始质疑天主教的教义和组织，发起回归圣经的行动来。

捷克的爱国主义者、布拉格大学校长扬·胡斯（1369～1415年）在君士坦丁堡的宗教会议上公开谴责德意志封建主与天主教会对捷克的压迫和剥削。他虽然被反动教会处以火刑，但他的革命活动在社会上引起了强烈的反应。捷克农民在胡斯党人的旗帜下举行起义，这次运动也波及波兰。1517年，在德国，马丁·路德 （1483～1546年）反对教会贩卖赎罪符，与罗马教皇公开决裂。1521年，路德又在沃尔姆国会上揭露罗马教廷的罪恶，并提出建立基督教新教的主张。新教的教义得到许多国家的支持，波兰也深受影响。

就在这样一个大变革大动荡的年代里，1473年2月19日哥白尼在维斯瓦河畔的托伦城诞生了。他的父亲是个当议员的富商，他有一个哥哥和两个姐姐。哥白尼10岁的时候，他的父亲死了，他被送到舅舅务卡施大主教家中抚养。务卡施是一个人文主义者，他和当时波兰进步的知识界来往极为密切，并与意大利卓越的革命家、人文主义者菲利普·布奥纳克西是挚友。在哥白尼念中学的时候，务卡施就带着他参加人文主义者的聚会。1491年，按照舅父的安排，哥白尼到克拉科夫大学去学习天文和数学。

当时，波兰已经产生了一些有名的天文学家，如马尔卿·克洛尔，他于1450年写成《亚尔峰斯星象表订正》一书，并在许多国家讲学。又如著名的天文学家沃伊切赫，曾编制天文历表，他就在克拉科夫大学讲课，是哥白尼求学时的数学和天文教授。哥白尼的“太阳中心学说”就是在克拉科夫大学求学时孕育起来的。

尽管《圣经》没有涉及诸如“地球是宇宙的中心”以及“天圆地方”等各类天文知识。但是在中世纪，天文学也有着延伸于古希腊的，经过经院神学家们构架好的官方论点。为了巩固封建统治，天主教会的宗教裁判所烧掉了许多珍贵的科学著作，有时一天竟烧掉20大车。1327年，意大利天文学家采科·达斯科里被活活烧死，他的“罪名”就是违背圣经的教义，论证地球呈球状，在另一个半球上也有人类存在。

编辑本段【伟大的学说】

在那个“科学成了神学的婢女”的年代，许多学说都被歪曲和阉割了，被用来为封建统治服务。在中世纪的欧洲，很少有人了解古代科学典籍的真实内容。这时，科学工作者的一个重要课颗，就是发掘古代的文化遗产。

古希腊的大天文学家托勒密，在公元二世纪时，总结了前人在400年间观测的成果，写成 《天文集》（即《至大论》）一书，提出“地球是宇宙中心”的学说。这个学说一直为人们所接受，流传了1400多年。

托勒密认为，地球静止不动地坐镇宇宙的中心，所有的天体，包括太阳在内，都围绕地球运转。但是，人们在观测中，发现天体的运行有一种忽前忽后、时快时慢的现象。为了解释忽前忽后的现象，托勒密说，环绕地球作均衡运动的，并不是天体本身，而是天体运动的圆轮中心。他把环绕地球的圆轮叫做“均轮”，较小的圆轮叫做“本轮”。为了解释时快时慢的现象，他又在主要的“本轮”之外，增加一些辅助的“本轮”，还采用了“虚轮”的说法，这样就可以使“本轮”中心的不均衡的运动，从“虚轮”的中心看来仿佛是“均衡”的。托勒密就这样对古代的观测资料作出了牵强附会的解释。

但是在以后的许多世纪里，大量的观测资料累积起来了，只用托勒密的“本轮”不足以解释天体的运行，这就需要增添数量越来越多的“本轮”。后代的学者致力于这种“修补”工作，使托勒密的体系变得越来越复杂，而对天文学的研究也就一直停留在这个水平上。

“地球是宇宙的中心”的说法，正好是“神学家的天空”的基础。中世纪的神学家吹捧托勒密的结论，却隐瞒了托勒密的方法论：托勒密建立了天才的数学理论，企图凭人类的智慧，用观测、演算和推理的方法，去发现天体运行的原因和规律，这正是托勒密学说中富有生命力的部分。因此，尽管托勒密的“地球中心学说”和神学家的宇宙观不谋而合，但是两者是有本质区别的，一个是科学上的错误结论，一个是愚弄人类、妄图使封建统治万古不变的弥天大谎。哥白尼对此作出正确的评价，他说：“应该把自己的箭射向托勒密的同一个方向，只是弓和箭的质料要和他完全两样。”

哥白尼曾十分勤奋地钻研过托勒密的著作。他看出了托勒密的错误结论和科学方法之间的矛盾。哥白尼正是发现了托勒密的错误的根源，才找到了真理。

哥白尼认识到，天文学的发展道路，不应该继续“修补”托勒密的旧学说，而是要发现宇宙结构的新学说。他打过一个比方：那些站在托勒密立场上的学者，从事个别的、孤立的观测，拼凑些大小重叠的“本轮”来解释宇宙的现象，就好像有人东找西寻地捡来四肢和头颅，把它们描绘下来，结果并不像人，却像个怪物。

哥白尼早在克拉科夫大学读书时，就开始考虑地球的运转的问题。他在后来写成《天体运行》的序言里说过，前人有权虚构圆轮来解释星空的现象，他也有权尝试发现一种比圆轮更为妥当的方法，来解释天体的运行。

哥白尼观测天体的目的和过去的学者相反。他不是强迫宇宙现象服从“地球中心”学说。哥白尼有一句名言：“现象引导天文学家。”他正是要让宇宙现象来解答他所提出的问题，要让观测到的现象证实一个新创立的学说——“太阳中心”学说。他这种目标明确的观测，终于促成了天文学的彻底变革。

哥白尼的观测工作在克拉科夫大学时就有了良好的开端。他曾利用著名的占星家玛尔卿·布利查（约1433～1493年）赠送给学校的“捕星器”和“三弧仪”观测过月食，研究过浩翰无边的星空。

哥白尼在克拉科夫大学学习三年就停了学，而到意大利去学习“教会法”了。这是他舅父务卡施的主意。因为当时盘踞在波兰以北的十字骑士团经常侵犯边境，为非作歹，而和他们作斗争，就必须有人精通“教会法”。哥白尼认为抗击十字骑士团是义不容辞的责任。他说：“没有任何义务比得上对祖国的义务那么庄严，为了祖国而献出生命也在所不惜。”所以他同意了务卡施的建议。为了取得出国的路费和长期留学的生活费用，他再次接受他舅父的安排，决定一辈子担任教会的职务。1496年秋天，哥白尼披上僧袍，动身到意大利去了。

他在意大利北部的波伦亚大学学习“教会法”，同时努力钻研天文学。在这里，他结识了当时知名的天文学家多米尼克·玛利亚，同他一起研究月球理论。他开始用实际观测来揭露托勒密学说和客观现象之间的矛盾。他发现托勒密对月球运行的解释，正像雷吉蒙腾所指出的那样，一定会得出一个荒谬的结论：月亮的体积时而膨胀时而收缩，满月是膨胀的结果，新月是收缩的结果。1497年3月9日，哥白尼和玛利亚一起进行了一次著名的观测。那天晚上，夜色清朗，繁星闪烁，一弯新月浮游太空。他们站在圣约瑟夫教堂的塔楼上，观测“金牛座”的亮星“毕宿五”，看它怎样被逐渐移近的娥眉月所掩没。当“毕宿五”和月亮相接而还有一些缝隙的时候，“毕宿五”很快就隐没起来了。他们精确地测定了“毕宿五”隐没的时间，计算出确凿不移的数据，证明那一些缝隙都是月亮亏食的部分，“毕宿五”是被月亮本身的阴影所掩没的，月球的体积并没有缩小。就这样，哥白尼把托勒密的地心说打开了一个缺口。

1500年，哥白尼由于经济困难，到罗马去担任数学教师。第二年夏天，哥白尼回国，后因取得教会的资助，秋天又到意大利的帕都亚学医。1503年，哥白尼在法腊罗大学取得教会法博士的学位。

这时，哥白尼还努力研读古代的典籍，目的是为“太阳中心学说”寻求参考资料。他几乎读遍了能够弄到手的各种文献。后来他写道：“我愈是在自己的工作中寻求帮助，就愈是把时间花在那些创立这门学科的人身上。我愿意把我的发现和他们的发现结成一个整体。”他在钻研古代典籍的时候，曾抄下这样一些大胆的见解：

“天空、太阳、月亮、星星以及天上所有的东西都站着不动，除了地球以外，宇宙间没有什么东西在动。地球以巨大的速度绕轴旋转，这就引起一种感觉，仿佛地球静止不动，而天空却在转动。”

“大部分学者都认为地球静止不动，但是费罗窝斯和毕达哥拉斯却叫它围绕一堆火旋转。”

“在行星的中心站着巨大而威严的太阳，它不但是时间的主宰，不但是地球的主宰，而且是群星和天空的主宰。”

这些古代学者的卓越见解，在当时被认为是“离经叛道”的，但是对哥白尼来说，却好比是夜航中的灯塔，照亮了他前进的方向。

1506年，哥白尼结束了在意大利十年留学的生活，动身回国。

SAT数学部分涉及的内容

# include "stdio.h"。

# include "math.h"。

void pythagoreantriple(int min,int max,int n)//求范围内的勾股数。

int i,j,k=0;

printf("case %d:",n);。

for(i=min;i<(int)sqrt(max*max/2)+1;i++)//根据勾股数的性质确定i的上限。

{

for(j=i+1;j<(int)sqrt(max*max-i*i)+1;j++)//根据勾股数的性质确定j的上限。

if(sqrt(i*i+j*j)<=max&&sqrt(i*i+j*j)==(int)sqrt(i*i+j*j))//判断是否满足勾股定理，sqrt(i*i+j*j)==(int)sqrt(i*i+j*j)是判断开方后是否为整数。

{

k++;

printf("%d,%d,%d;",i,j,(int)sqrt(i*i+j*j));。

}

}

if(k==0)

{

printf("No pythagorean triple\n");。

}

else

{

printf("\n");。

}

void main()

{

int input[3][2]={{1,10},{6,9},{1,50}},i,k=1;。

for(i=0;i<sizeof(input)/sizeof(input[0]);i++)//sizeof(input)/sizeof(input[0])确定输入的组数。

{

pythagoreantriple(input[i][0],input[i][1],k++);。

}

数学上，有哪些让人拍案叫绝的证明过程？

I. ARITHMETIC

A. Whole numbers 。

1. Operations—addition, subtraction, multiplication, division 。

2. Prime and composite numbers 。

3. Factors and divisors 。

B. Fractions

1. Types—proper, improper, mixed numbers 。

2. Operations

C. Decimals

1. Operations

2. Conversions 。

a) Decimals to fractions 。

b) Fractions to decimals 。

3. Rounding and approximation 。

4. Powers of 10 。

a) Multiplication 。

b) Division

c) Scientific notation 。

D. Percent

1. Conversions 。

a) Percent to decimal 。

b) Decimal to percent 。

2. Percent problems 。

E . Ratio and proportion 。

F . Square roots 。

G. Averages

H . Metric measurement 。

II. ALGEBRA

A . Signed numbers 。

1. Absolute value 。

2. Inequality and order of signed numbers 。

3. Addition, subtraction, multiplication, division 。

4. Order of operations 。

5. Grouping symbols 。

6. Evaluating algebraic expressions and formulas 。

B. Properties of operations 。

1. Commutative properties 。

2. Associative properties 。

3. Distributive properties 。

4. Special properties of zero 。

5. Special properties of one 。

6. Additive and multiplicative inverses 。

C . Operations with polynomials 。

1. Exponents and coefficients 。

2. Addition and subtraction 。

3. Multiplication 。

4. Division

D . Equations in one variable 。

1. Methods of solution 。

2. Literal equations 。

E . Inequalities in one variable 。

F . Systems of equations and inequalities in two variables 。

G. Verbal Problems 。

1. Number

2. Consecutive integer 。

3. Motion

4. Coin

5. Mixture

6. Age

7. Work

8. Variation—direct and inverse 。

H. Special products and factoring 。

1. Common monomial factors 。

2. Trinomials of the form ax2 + bx + c 。

3. Difference of two squares 。

4. Complete factoring 。

I. Algebraic fractions 。

1. Simplifying fractions 。

2. Multiplication 。

3. Division

4. Addition and subtraction 。

a) Same denominators 。

b) Different denominators 。

5. Complex fractions 。

6. Equations involving fractions 。

J . Radicals and irrational numbers 。

1. Simplifying radicals 。

2. Addition and subtraction of radicals 。

3. Multiplication and division of radicals 。

4. Rationalizing denominators 。

5. Radical equations 。

6. Fractional exponents 。

K. Solution of quadratic equations 。

1. Factoring

2. Completing the square 。

3. Formula

L. Graphing

1. Ordered pairs in the plane 。

2. Methods of graphing linear equations 。

a) Pairs in the solution set 。

b) Intercepts

c) Slope and slope-intercept method 。

3. Parallel and perpendicular lines 。

4. Graphing inequalities 。

5. Graphical solution of systems of equations 。

M . Solution of simple cubic equations 。

1. Factor theorem 。

2. Remainder theorem 。

3. Synthetic division 。

4. Irrational and complex roots 。

5. Solving simple cubic equations 。

III. GEOMETRY

A . Angles

1. Types—acute, right, obtuse 。

2. Complements and supplements 。

3. Vertical angles 。

B . Lines

1. Parallel lines and their angles 。

2. Perpendicular lines 。

C. Triangles

1. Sum of the angles 。

2. Congruent triangles 。

3. Similar triangles 。

4. Special triangles 。

a) Isosceles

b) Equilateral 。

c) Right (Pythagorean Theorem) 。

5. Vectors

D . Polygons

1. Quadrilaterals 。

a) Parallelogram 。

b) Rectangle

c) Square

d) Rhombus

e) Trapezoid

f) Regular Polygons 。

E. Circles

1. Special lines and their related angles 。

a) Radius and diameter 。

b) Chord

c) Tangent

d) Secant

2. Angle and arc measurement 。

3. Polygons inscribed in circles 。

F . Perimeter and area 。

1. Triangles

2. Polygons

3. Circles

a) Circumference and arc length 。

b) Area of sectors and segments 。

G . Volume

1. Pyramid

2. Prism

3. Cylinder

4. Cone

5. Sphere

6. Cube

7. Rectangular solid 。

H . Coordinate geometry 。

1. Coordinate representation of points 。

2. Distance between two points 。

3. Midpoint of a line segment 。

4. Slope of a line 。

5. Parallel and perpendicular lines 。

I. Basic trigonometry 。

1. Definitions of sine, cosine, tangent 。

2. Trigonometry in special triangles 。

a) 30°–60°–90° triangle 。

b) Isoceles right triangle 。

3. Trigonometric problems 。

a) Angle of elevation 。

b) Angle of depression 。

IV. FUNCTIONS AND THEIR GRAPHS 。

A . Relations and functions 。

1. Ordered pairs 。

2. Function notation 。

3. Domain and range 。

4. One-to-one functions 。

5. Inverse functions 。

6. Combining functions 。

a) Addition, subtraction, multiplication, division 。

b) Composition 。

B. Graphs

1. Linear

a) Slope

b) Intercepts

2. Special functions 。

a) Absolute value function 。

b) Step functions 。

3. Polynominal and rational functions 。

a) Quadratic—parabola 。

i. Axis of symmetry 。

ii. Vertex

b) Cubics

c) Hyperbola of the form xy = k 。

4. Related non-function graphs 。

a) Circle

b) Ellipse

c) Hyperbola of the form ax2 – by2 = c 。

5. Graphs of inverse functions 。

V. REAL NUMBER SYSTEM 。

A . Subsets of the real numbers 。

1. Natural numbers 。

a) Primes

b) Composites—prime factorization 。

2. Integers

a) Multiples and divisors 。

i. Factors

ii. Divisibility 。

iii. Least common multiple 。

iv. Greatest common divisor 。

v. Perfect squares 。

b) Odd and even integers 。

3. Rational and irrational numbers 。

a) Decimal representations 。

b) Simplification of radicals and exponents 。

c) Identifying rational and irrational numbers 。

B . Operations and properties 。

1. Properties of the binary operations 。

a) Closure

b) Commutative properties 。

c) Associative properties 。

d) Distributive properties 。

2. Absolute value 。

3. Real number line 。

a) Order

b) Density

c) Completeness 。

4. Properties of zero and one 。

a) Identity elements 。

b) Additive and multiplicative inverses 。

c) Division involving zero 。

d) Zero as an exponent 。

5. Nature of the roots of quadratic equations 。

6. Pythagorean triples 。

VI. LOGIC

A . Propositions 。

1. Simple statements 。

a) Symbols

b) Quantifiers (all, some) 。

2. Negation

3. Compound statements 。

a) Conjunction 。

b) Disjunction 。

c) Implication (conditional statements) 。

i. Necessary conditions 。

ii. Sufficient conditions 。

iii. Equivalence (necessary and sufficient conditions) 。

d) Derived implications 。

i. Converse

ii. Inverse

iii. Contrapositive 。

B . Truth tables 。

C . Methods of proof 。

1. Valid arguments 。

a) Direct

b) Indirect—contradiction and counterexample 。

2. Invalid arguments—fallacies 。

VII. SETS

A . Meaning and symbols 。

1. Set notation 。

2. Set membership 。

3. Ordered pairs 。

4. Cardinality of a set 。

B . Types of sets 。

1. Finite

2. Infinite

3. Empty

C. Relationships between sets 。

1. Equal sets

2. Equivalent sets 。

3. Subsets

4. Complements 。

D. Set Operations 。

1. Union

2. Intersection 。

3. Cartesian products 。

4. Laws of set operations 。

5. Closure

E . Venn diagrams 。

VIII. TRIGONOMETRY 。

A. Trigonometry of the right triangle 。

1. Definitions of the six functions 。

2. Relations of the functions of the complementary angles 。

3. Reciprocal relations among the functions 。

4. Variations in the functions of acute angles 。

5. Pythagorean and quotient relations 。

6. Functions of 30°, 45°, and 60° 。

7. Applications of the functions to right triangle problems 。

B. Trigonometric functions of the general angle 。

1. Generating an angle of any size 。

2. Radians and degrees 。

3. Using radians to determine arc length 。

4. Definitions of the functions of an angle 。

5. Signs of the functions in the four quadrants 。

6. Functions of the quadrantal angle 。

7. Finding the value of functions of any angle 。

C . Identities and equations 。

1. Difference between identities in equations 。

2. Proving identities 。

3. Solving linear trigonometric functions 。

4. Solving trigonometric quadratic equations 。

D . Generalized trigonometric relationships 。

1. Functions of the sum of two angles 。

2. Functions of the difference of two angles 。

3. Functions of the double angle 。

4. Functions of the half angle 。

E . Graphs of trigonometric functions 。

1. Graphs of the sine, cosine, and tangent curves 。

2. Properties of the sine, cosine, and tangent curves 。

3. Definitions of amplitude, period, and frequency 。

4. Solving trigonometric equations graphically 。

F . Solutions of oblique triangles 。

1. Law of sines 。

2. Law of cosines 。

3. Using logarithms to solve oblique triangle problems 。

4. Vector problems—parallelogram of forces 。

5. Navigation problems 。

IX. MISCELLANEOUS TOPICS 。

A. Complex numbers 。

1. Meaning

2. Operations

a) Addition and subtraction 。

b) Multiplication and division 。

i. Powers of i 。

ii. Complex conjugate 。

3. Complex roots of quadratic equations 。

B . Number Bases 。

1. Converting from base 10 to other bases 。

2. Converting from other bases to base 10 。

3. Operations in other bases 。

C . Exponents and logarithms 。

1. Meaning of logarithms 。

2. Computation with exponents and logarithms 。

3. Equations

4. Graphs of exponential and logarithmic functions 。

D . Binary operations 。

1. Definition of binary operations 。

2. Properties of binary operations 。

3. Application to modular arithmetic 。

E . Identity and inverse elements 。

1. Addition

2. Multiplication 。

3. Other operations。

适合背诵的英语美文10篇文章汇总

伯努利对最速降线的证明最速降线问题，是17世纪的著名难题，难倒了很多数学家。1630年，大科学家伽利略，提出"一个质点，只在重力作用下，从一个给定点，到不在它垂直下方的另一点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，所需时间最短？"“如果使分层无限增加，每层的厚度无限变薄，则质点的运动趋近于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线。而折线的每一段趋向于曲线的切线，因此得到最速降线的一个重要性质，即任意一点上切线和铅垂线所成的角度的余弦，与该点落下的高度的平方根的比值是常数。而具有这种性质的曲线就是摆线。”

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康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。

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